Question

7．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
①经过点A垂直于平面A₁BD的直线也垂直于平面B₁D₁C；
②设O为AC和BD的交点，则异面直线AB₁与OC₁所成的角是$\frac{π}{6}$；
③若正方体的棱长为2，则经过棱D₁C₁，B₁C₁，BB₁中点的正方体的截面面积为3$\sqrt{3}$；
④若点P是正方形ABCD内（包括边界）的动点，点Q在对角线A₁C上，且满足PQ⊥A₁C，PA=PQ，则点P的轨迹是线段．
以上命题正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件利用棱柱的结构特征，直线和平面的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，易证平面A₁BD∥面B₁D₁C选，∴①正确；
∵A₁B∥D₁C，∠OC₁D就是异面直线AB₁与OC₁所成的角．
∵BD⊥OC，BD⊥CC₁，∴BD⊥面OCC₁，∴BD⊥OC₁，
又$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}{C_1}D$，∴$∠O{C_1}D=\frac{π}{6}$，即异面直线AB₁与OC₁所成
的角是$\frac{π}{6}$，∴②正确；
设棱B₁D₁，B₁C₁，BB₁，AB，AD，DD₁的中点分别为E，F，G，H，M，N，
则过点E，F，G的正方形截面就是正六边形EFGHMN，$S=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{\sqrt{2}}）^2}=3\sqrt{3}$，∴③正确；
连结A₁P，易证AA₁⊥AP，又PQ⊥A₁C，PA=PQ，PA₁=PA₁，∴Rt△A₁PA≌Rt△A₁PQ，A₁A=A₁Q，
∴Q为A₁C上定点．
又PA=PQ，点P在线段AQ的中垂面上，∴点P在AQ的中垂面与正方形ABCD的交线上，
∴④正确，
故选：D．

点评 本题主要考查棱柱的结构特征，直线和平面的位置关系，属于基础题．