Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R
（1）当θ=0时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若θ∈（0，π），当θ为何值时，f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）把θ=0代入函数的解析式进行整理，再结合正弦函数的单调递减区间即可求出结论．
（2）先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合奇函数定义域内有0函数值为0这一结论即可求出θ的值．

解答：解：（1）θ=0时，f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
又由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3

2

π，得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5

4

π
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π]k∈Z（6分）
（2）∵f(x)=

2

sin(x+θ+

π

4

)，
又若f（x）为奇函数，则f（0）=0
∴sin(θ+

π

4

)=0
又0＜θ＜π，从而

π

4

＜θ+

π

4

＜

5

4

π
∴θ+

π

4

=π
∴θ=

3

4

π（12分）

点评：本题主要考查三角函数中的恒等变换应用以及奇函数的性质的应用．解决三角函数的题目时，一定要熟练掌握公式，并会熟练运用．