Question

（2013•铁岭模拟）已知函数f(x)=2sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2

3

cos2(x+

θ

2

)-

3

（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）当θ=

π

3

时，求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）首先整理函数的式子，进行三角函数式的恒等变换，写出最简结果，用周期公式做出周期．
（2）根据正弦曲线的递减区间，写出使得函数的角在这一个区间上，解出其中的x的值，求出函数的单调区间．

解答：解：（1）函数f(x)=2sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2

3

cos2(x+

θ

2

)-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）
∴T=π
（2）当θ=

π

3

时，f（x）=2sin（2x+

2π

3

）
根据正弦曲线的递减区间知当2x+

2π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
即x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]
∴函数的递减区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈z）．

点评：本题考查三角函数的变换和三角函数的性质，这是一个非常适合作为高考题目的题，这种题目注意三角恒等变换时不要出错，不然后面的运算都会出错．