Question

8．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=$\frac{π}{6}$，点E，F的直径AB上，且∠ABC=$\frac{π}{6}$．
（1）若CE=$\sqrt{13}$，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF•sin∠ECF$，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

解答 解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=$\frac{π}{3}$，CE=$\sqrt{13}$，
∴13=16+AE²-2×$4×AE×\frac{1}{2}$，
∴AE=1或3；
（2）由题意，∠ACE=α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∠AFC=π-∠A-∠ACF=$\frac{π}{2}$-α．
在△ACF中，由正弦定理得$\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}$，∴CF=$\frac{2\sqrt{3}}{cosα}$；
在△ACE中，由正弦定理得$\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}$，∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S_△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF•sin∠ECF$=$\frac{12}{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴0≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴α=$\frac{π}{3}$时，S_△CEF取最大值为4$\sqrt{3}$，该空地产生最大经济价值．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．