Question

已知A.(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A.BC的形状,并给出证明.

Answer 1

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.

解:在平面直角坐标系中标出A.(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A.BC是直角三角形.下面给出证明.

∵=(2-1,3-2)=(1,1),

=(-2-1,5-2)=(-3,3),

∴·=1×(-3)+1×3=0.

∴⊥.

∴△ABC是直角三角形.

点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.