Question

13．若f（x）=x-1-alnx（a∈R），g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
（1）当a=$\frac{1}{e}$时，求函数f（x）的最值；
（2）当a＜0时，且对任意的x₁，x₂∈[4，5]（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值且为最小值，无最大值；
（2）当a＜0时，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增．利用g′（x）＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得g（x）在x∈[4，5]上为增函数．不妨设x₂＞x₁，则|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|恒成立|恒成立?f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂）-g（x₁）恒成立，即f（x₂）-g（x₂）＜f（x₁）-g（x₁）在x∈[4，5]上恒成立．设F（x）=f（x）-g（x）=x-alnx-1-$\frac{{e}^{x}}{x}$．则F（x）在x∈[4，5]上为减函数．分离参数利用导数进一步研究即可得出．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）=x-1-$\frac{1}{e}$lnx（x＞0），
导数为f′（x）=1-$\frac{1}{ex}$=$\frac{ex-1}{ex}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处f（x）取得极小值，且为最小值$\frac{1}{e}$-1+1=$\frac{1}{e}$，无最大值；
（2）当a＜0时，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0在x∈[4，5]上恒成立，
∴函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增，
g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0在x∈[4，5]上恒成立，
∴g（x）在[4，5]上为增函数．
当a＜0时，且对任意的x₁，x₂∈[4，5]（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
即f（x₂）-g（x₂）＜f（x₁）-g（x₁）在x∈[4，5]上恒成立．
设F（x）=f（x）-g（x）=x-alnx-1-$\frac{{e}^{x}}{x}$．则F（x）在x∈[4，5]上为减函数．
F′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$≤0在x∈[4，5]上恒成立，化为a≥x-e^x+$\frac{{e}^{x}}{x}$恒成立．
设H（x）=x-e^x+$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∵H′（x）=1-e^x+$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=1-e^x（1-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=1-e^x[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]，x∈[4，5]．
∴e^x[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]＞$\frac{3}{4}$e³＞1，x∈[4，5]．
∴H′（x）＜0在x∈[4，5]上恒成立，即H（x）为减函数．
∴H（x）在x∈[4，5]上的最大值为H（4）=4-e⁴+$\frac{1}{4}$e⁴=4-$\frac{3}{4}$e⁴．
∴4-$\frac{3}{4}$e⁴≤a＜0．

点评 本题考查了利用函数导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于难题．