Question

2．空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器---雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过测试得到雾炮降尘率的频率分布直方图：
若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效．
（1）根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率；
（2）现把A市规划成三个区域，每个区域投放3台雾炮进行除尘（雾炮之间工作互不影响），若在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，求后期投入费用的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）估计雾炮除尘有效的概率P=$\frac{2}{5}×$5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．
（2）由（1）可得：在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，
因此在一个区域内需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理的概率P=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$．后期投入区域X～B$（3，\frac{1}{8}）$．后期投入费用ξ=20X（万元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{8}）^{k}（1-\frac{1}{8}）^{3-k}$即可得出．

解答 解：（1）估计雾炮除尘有效的概率P=$\frac{2}{5}×$5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得：在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，
因此在一个区域内需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理的概率P=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$．
∴后期投入区域X～B$（3，\frac{1}{8}）$．后期投入费用ξ=20X（万元）．
P（ξ=20k）=P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{1}{8}）^{k}（1-\frac{1}{8}）^{3-k}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	20	40	60
P	$\frac{343}{512}$	$\frac{147}{512}$	$\frac{21}{512}$	$\frac{1}{512}$

Eξ=0+$20×\frac{147}{512}$+40×$\frac{21}{512}$+60×$\frac{1}{512}$=7.5（万元）．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．