Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x.

（1）若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（1）a≤0（2）f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6（3）存在符合条件的实数b，b的范围为b＞-7且b≠- 3

解析:

  （1）f′(x)=3x²-2ax-3

∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,

∴f′(x)在［1，+∞）上恒有f′(x)≥0，

即3x²-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立

则必有≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.

(2）依题意，f′(-)=0,即+a-3=0

∴a=4,∴f（x）=x³-4x²-3x

令f′（x）=3x²-8x-3=0，

得x₁=-，x₂=3.则

当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
		-	0	+
f (x)	-6		-18		-12

∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6.

（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根

∴x³-4x²-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，

∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，

∴,∴b＞-7且b≠-3.

∴存在符合条件的实数b，b的范围为b＞-7且b≠- 3.