Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且，n=1，2，3

（1）求a₁，a₂；

（2）求S_n与S_n﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；

（3）求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0；（3）．

【解析】

试题分析：（1）直接利用与的关系式求的值；（2）当时，把代入已知关系式可得与的关系式，再由此关系式，去凑出和，可得所求数列是等差数列，进而得通项的表达式，从而得的表达式；（3）由（2）中的表达式易求S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂的值．

试题解析：（1）解：当n=1时，由已知得，解得，

同理，可解得 ．                   （4分）

（2）证明：由题设，

当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0，

∴，        （7分）

∴=﹣1+，

∴{}是首项为=﹣2，公差为﹣1的等差数列，         （10分）

∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1，∴S_n= ．     （12分）

（3）解：S₁•S₂•S₃ S₂₀₁₁•S₂₀₁₂=•• ••=．     （14分）

考点：1、等差数列；2、数列的前n项和与通项的综合应用．