Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1(n∈N^*),

当a₁≥3时证明对所有n≥1,

(1）a_n≥n+2;

(2)++…+≤.

Answer 1

证明：（1）用数学归纳法：当n=1时显然成立，假设当n≥k时成立即

a_k≥k+2,则当n=k+1时,a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥a_k(k+2-k)+1≥(k+2)·2+1＞k+3,成立.

（2）利用上述部分放缩的结论a_k+1≥2a_k+1来放缩通项，可得a_k+1+1≥2(a_k+1) a_k+1≥…

≥2^k-1(a₁+1)≥2^k-1·4=2^k+1≤.?

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温馨提示

上述证明（1）用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩.a_k+1≥(k+2)(k+2-k)

+1＞k+3;

证明（2）就直接使用了部分放缩的结论a_k+1≥2a_k+1.