Question

已知n（n∈N^*，n≥2）是常数，且x₁，x₂，…，x_n是区间[0，

π

2

]内任意实数，当n=366时，函数f（x_n）=sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁的最大值为

183

．

Answer 1

分析：利用柯西不等式，先证明结论sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

n，等号成立的条件是sinx_n=cosx_n（n=1.2…n）
即x₁=x₂=…x_n=45°时，等号成立，再令n=366，代入即可得结论．

解答：解：用柯西不等式
[（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²][（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²]
≥[（sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n）+（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）]²
∵sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n-（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）
=sin（x₂-x₁）+sin（x₃-x₂）+…sin（x₁-x_n）
把这些数按照x₂≤x₃≤x₄≤…≤x_n≤x₁的排列（根据这些数据的任意性，这样是做到的）
那么上式大于等于0
∴sinx₂cosx₁+sinx₃cosx₂+…sinx₁cosx_n≥sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁
∴（sinx₁）²+（cosx₁）²+…（sinx_n）²+（cosx_n）²≥2（sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁）
∵左边=n
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

n
等号成立的条件是sinx_n=cosx_n（n=1.2…n）
即x₁=x₂=…x_n=45°时，等号成立
令n=366，则sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁≤

1

2

×366=183
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁最大值为183
故答案为：183．

点评：本题的考点是三角函数的最值，考查柯西不等式，考查求函数的最值，解题的关键是正确理解与运用柯西不等式，利用取等号的条件求最值．