Question

如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a的值为__________________.

Answer 1

解法一:正弦函数y=sinx,x∈R的图象的对称轴为直线x=kπ+(k∈Z).其对称轴与x轴交点的横坐标即是使函数取得最大值1或最小值-1时的x值.因此，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴可由ωx+φ=kπ+来确定.

∵y=sin2x+acos2x=sin(2x+φ)(其中φ由tanφ=a确定),

∴2x+φ=kπ+ (k∈Z),即φ=kπ+-2x.

将x=代入,得φ=kπ+.

故a=tanφ=tan(kπ+)=-1.

解法二:根据对称轴的定义知，函数图象上到x=距离相等的x值所对应的函数值相等.令y=f(x)=sin2x+acos2x,则f(x)=f(-x)对任意x都成立.不妨取x=代入,有f(0)=f(-),

即a=sin(-)+acos(-)=-1.

答案:-1