Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．

(Ⅰ)求证：AB⊥BC；

(Ⅱ)若AA₁＝AC＝a，直线AC与平面ABC所成的角为θ，二面角A₁－BC－A的大小为，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：如下图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则 　　由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B， 　　得AD⊥平面A1BC．又BC平面A1BC 　　所以AD⊥BC． 　　因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC． 　　又AA1∩AD＝A，从而BC⊥侧面A1ABB1， 　　又AB侧面A1ABB1， 　　故AB⊥BC． 　　(Ⅱ)证法1：连接CD，则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1＝． 　　于是在RtΔADC中，sinθ＝，在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝， 　　∴sinθ＝sin∠AA1D，由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D． 　　又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝，故θ＋＝． 　　　证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 　　设AB＝c(c＜a＝，则B(0，0，0)，A(0，c，0)，C()， 　　A1(0，c，a)，于是，＝(0，c，a)， 　　?????c，a? 　　设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 　　则由 　　可取n＝(0，－a，c)，于是 　　n·＝ac＞0，与n的夹角θ为锐角，则β与θ互为余角? 　　sinθ＝cosβ＝， 　　cos＝ 　　所以sinθ＝cos＝sin()，又0＜θ，＜，所以θ＋＝． 　　本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力．(满分12分)