Question

（2008•河西区三模）已知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，cosx-2sinx)，

a

•

b

=

1

5

，x∈(0，

π

4

)．
（1）求sin2x的值；
（2）求tan(2x-

π

4

)及cos(x+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，求出1-sin2x=

1

5

，即可得到答案；
（2）利用二倍角公式与同角三角函数的基本关系式化简求解即可．

解答：解：（1）

a

•

b

=sin2x+cos2x-2sinxcosx（1分）=1-sin2x=

1

5

（3分）
∴sin2x=

4

5

（4分）
（2）∵x∈(0，

π

4

)，2x∈(0，

π

2

)∴cos2x=

3

5

（5分）
于是tan2x=

sin2x

cos2x

=

4

3

（6分）
∴tan(2x-

π

4

)=

tan2x-tan π 4

1+tan2xtan π 4

（7分）=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

（8分）
由cos2x=2cos²x-1得2cos2x=

8

5

，cos2x=

4

5

又x∈(0，

π

4

)∴cosx=

2

5

，sinx=

1

5

（10分）
∴cos(x+

π

3

)=cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

=

2

5

•

1

2

-

1

5

•

3

2

=

2 5 - 15

10

（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算，以及三角函数恒等变换的有关公式．