Question

19.已知a∈R，求函数f（x）=x²e^ax的单调区间.

Answer 1

19.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.

解：函数f（x）的导数：

f′（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x+ax²）e^ax.

（ⅰ）当a=0时，若x＜0，则f′（x）＜0，

若x＞0,则f′（x）＞0.

所以当a=0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（ⅱ）当a＞0时，由2x+ax²＞0，解得x＜－或x＞0,

由2x+ax²＜0,解得－＜x＜0.

所以当a＞0时，函数f（x）在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（ⅲ）当a＜0时，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜－,

由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞－.

所以当a＜0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间

（－,+∞）内为减函数.