Question

数列{a_n }满足 a1=

1

2

， an+1=

1

2-an

．
（1）求数列{a_n}通项公式
（2）若 bn=

1

an

-1，{b_n}的前n次和为Bn，若存在整数m，对任意n∈N⁺且n≥2都有 B3n-Bn＞

m

20

成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列，利用等差数列的求和公式，即可求得数列的通项；
（2）确定数列{b_n}的通项，令C_n=B_3n-B_n，确定其单调递增，求出最小值，从而可求m的最大值．

解答：解：（1）∵ an+1=

1

2-an

，
∴

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=-1+

1

an-1

∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1
∵a1=

1

2

，∴

1

a1-1

=-2
∴{

1

an-1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列
∴

1

an-1

=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）
∴an=

n

n+1

；
（2）∵an=

n

n+1

，∴ bn=

1

an

-1=

1

n

令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

∴C_n+1-C_n=[

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3(n+1)

]-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

）=-

1

n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+1

=

1

3n+2

-

2

3n+3

+

1

3n+1

＞

2

3n+3

-

2

3n+3

=0
∴C_n+1-C_n＞0，∴{C_n}为单调递增数列
∴（C_n）_min=C₂=B₆-B₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

∴

m

20

＜

19

20

，∴m＜19  
又m∈N₊，
∴m的最大值为18．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．