Question

（2013•南开区二模）如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意，设O为AD₁的中点，则由三角形的中位线性质可得OE∥BD₁，再利用直线和平面平行的判定定理证明BD₁∥平面A₁DE．
（2）由于D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影，由正方形的性质可得D₁A⊥A₁D，再利用三垂线定理可得D₁E⊥A₁D．
（3）由题意可得A、B两点到平面A₁DE的距离相等，设为h，根据 VA-A1DE=VA1-ADE，利用等体积法求得h的值．

解答：（1）证明：∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD₁的中点，
则由三角形的中位线性质可得OE∥BD₁．
由于OE?平面A₁DE，BD₁不在平面A₁DE内，故BD₁∥平面A₁DE．
（2）证明：由题意可得D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影，由正方形的性质可得D₁A⊥A₁D，
由三垂线定理可得D₁E⊥A₁D．
 （3）设点B到平面A₁DE的距离为h，由于线段AB和平面A₁DE交于点E，且E为AB的中点，
故A、B两点到平面A₁DE的距离相等，即求点A到平面A₁DE的距离h．
由于S△A1DE=

1

2

×

2×

×

2

×sin60°=

3

2

，S△A DE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵VA-A1DE=VA1-ADE，
∴

1

3

•S△A1DE•h=

1

3

•S △A DE•A1A，即

1

3

×

3

2

×h=

1

3

×

1

2

×1，解得 h=

3

3

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、三垂线定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化的数学思想，属于中档题．