Question

已知f（x）=3x²-x+m，（x∈R），g（x）=lnx
（1）若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=x₀处的切线平行，求x₀的值；
（2）求当曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，实数m的取值范围；并求此时函数F（x）=f（x）-g（x）在区间上的最值（用m表示）．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=6x-1，…（2分）
由题意知，即…（3分）
解得，或…（4分）
∵x₀＞0，∴…（5分）
（2）若曲线y=f（x）与y=g（x）相切且在交点处有公共切线
由（1）得切点横坐标为，…（6分）
∴，
∴，
∴，…（8分）
由数形结合可知，当时，f（x）与g（x）有公共切线 …（9分）
∵函数F（x）=f（x）-g（x），
∴F'（x）=f′（x）-g′（x）===…（10分）
则F'（x）与F（x）在区间的变化如下表：

x
F'（x）	-	0	+
F（x）	↘	极小值	↗

…（12分）
又∵，
∴当x∈时，，（），
F（x）_max=F（1）=m+2，（） …（14分）
分析：（1）先求出f（x）和g（x）的导数，根据函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=x₀处的切线平行，可知斜率相等，也即f′（x）和g′（x）在x=x₀处的值相等，从而求出x₀的值，同时注意由于g（x）=lnx，可知x＞0判断x₀的取值；
（2）由题知曲线y=f（x）与y=g（x）有公共切线时，说明有公共切点，根据（1）可知切点横坐标为，可以求出m的范围，已知函数F（x）=f（x）-g（x），代入进行求导，令F′（x）=0，求出极值点，判断单调区间，列表求其最值；
点评：第一问容易出错的是x＞0的隐含条件，许多同学不知道，从而得出两个x₀的值；第二问对F（x）正确求导，并求出极值是解题的关键，对这类利用导数求函数最值问题，用列表的方式来求解，不会容易出错，本题难度不大；