Question

如图,在正四棱锥P—ABCD中,E是侧棱PB的中点,侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为.

(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;

(2)求异面直线PD与AE所成角的正切值;

(3)在侧面PAD上寻找一点F,使EF⊥侧面PBC,试确定点F的位置,并证明你找出的点F满足EF⊥侧面PBC.

Answer 1

解：方法一:设底面正方形ABCD的中心为O,边长为a,

由已知得PO⊥平面ABCD,AO=a.

(1)取AD的中点M,连结MO、PM,根据已知可得∠PMO为侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,

∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角,∵tan∠PAO=,

∴PO=·a=a,tan∠PMO=.∴∠PMO=60°.

∴侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为60°.

(2)连结OE,OE∥PD,∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角,

而OE=PD=,

∴tan∠AEO=.∴异面直线PD与AE所成角的正切值为.

(3)F在线段AD上,且AF=AD.

延长MO交BC于N,取PN的中点G,连结EG、MG,

∴平面PMN⊥平面PBC.∴MG⊥PN.

∵平面PMN∩平面PBC=PN,∴MG⊥平面PBC.∵EG∥MF,∴MF=MA=EG.

∴EF∥MG.∴EF⊥平面PBC.

方法二:设正方形ABCD的中心为O,边长为a,以射线OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴

正半轴,如图建立空间直角坐标系,根据已知可得PO=,

故A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),P(0,0,).

(1)可以求得底面ABCD的一个法向量n₁=(0,0,1),侧面PAD的一个法向量n₂=(1,-1,),

根据已知侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是锐角,设为θ,则

cosθ==,∴θ=.故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为.

(2)由已知得E(0,,),=(0,-,-),(-,,),

设PD与AE所成角为α,则cosα=,∴tanα=,即异面直线PD与AE所成角的正切值为.

(3)F在线段AD上,且AF=AD.

设F(x,y,z),则=(x,y-,z-),

根据已知P、A、F、D共面,即⊥n₂,且,,

∴解之,得

∴F在线段AD上,且AF=AD.