Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C的中点，则直线BE与平面B₁BD所成的角的正弦值为（　　）

• A、-

  10

  5

• B、

  10

  5

• C、-

  15

  5

• D、

  15

  5

Answer 1

分析：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面B₁BD所成角的正弦值．

解答：解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，
建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（2，2，2），E（0，2，1）．
∴

BD

=（-2，-2，0），

BB1

=（0，0，2），

BE

=（-2，0，1）．
设平面B₁BD的法向量为

n

=（x，y，z）．
∵

n

⊥

BD

，

n

⊥

BB1

，
∴

-2x-2y=0 2z=0

，令y=1，则

n

=（-1，1，0）．
∴cos＜n，

BE

＞=

n• BE

|n|| BE |

=

10

5

，
设直线BE与平面B₁BD所成角为θ，
则sin θ=|cos＜n，

BE

＞|=

10

5

．
故选：B．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．