Question

17．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且该椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线l₁：y=x+m（m≠0）与椭圆交于A，B两点，直线l₂：y=x-m与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）带入椭圆方程，并根据离心率$e=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，这样便可得到关于a，b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）先容易判断出四边形ABCD为平行四边形，所以面积为弦长|AB|与直线l₁，l₂之间距离的乘积，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据弦长公式即可得到|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$，根据直线l₁，l₂的方程即可求出这两直线间的距离为$\sqrt{2}|m|$，所以得到四边形ABCD的面积为$\frac{8}{5}•|m|•\sqrt{5-{m}^{2}}$，根据基本不等式即可求该面积的最大值．

解答 解：（1）依题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$；
解得a²=4，b²=1；
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）显然直线l₁与直线l₂关于原点对称，所以四边形ABCD为平行四边形；
∴|AB|=|CD|，?ABCD的面积为弦长|AB|与直线l₁，l₂距离的乘积；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得，5x²+8mx+4m²-4=0；
则△=16（5-m²）＞0，∴0＜m²＜5；
根据韦达定理${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$；
∴$|AB|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{80-16{m}^{2}}{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$；
直线l₁与l₂的距离为$2|m|•\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}|m|$；
∴${S}_{四边形ABCD}=\sqrt{2}|m|•\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{m}^{2}}$=$\frac{8}{5}•|m|•\sqrt{5-{m}^{2}}≤\frac{8}{5}•\frac{{m}^{2}+5-{m}^{2}}{2}=4$；
当且仅当${m}^{2}=\frac{5}{2}$时等号成立；
∴四边形ABCD面积的最大值为4．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，以及曲线上点的坐标和曲线方程的关系，韦达定理，弦长公式，求两平行线间的距离，椭圆的对称性，以及基本不等式的运用．