Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈[0，π]，当方程f（x）=m有两个不同实根时．
（1）求m的取值范围；
（2）求方程的两个不等实根之和．

Answer 1

分析 （1）将函数转化为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），再求出f（x）的取值范围，从而求出m的范围；
（2）设出方程的两根，由两个交点关于直线2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$对称，从而求出两个不等实根之和．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤1，
画出函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
如图示：

若方程f（x）=m有两个不同实根，
则-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜1或-1＜m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）若函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，
设x₁，x₂是这两个交点的横坐标．
∵x∈[0，π]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
若这两个交点关于直线2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$对称，则有x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，
若这两个交点关于直线2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$对称，则有x₁+x₂=$\frac{11π}{6}$，
∴方程的两个不等实根之和为$\frac{5π}{6}$或$\frac{11π}{6}$．

点评 本题主要考查了向量的运算，考查正弦函数的图象特征，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．