Question

（2004•虹口区一模）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），B为短轴的一个顶点，焦点为F₁，F₂，且△BF₁F₂是等边三角形．
（1）求

b

a

的值；
（2）如直线y=

1

2

x+2交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3

5

Z，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，△BOF₂为直角三角形，从而可得

b

a

=sin60°
（2）由（1）可设a²=4t，b²=3t （t＞0）．则可设椭圆方程为

x2

4t

+

y2

3t

=1联立直线方程．y=

1

2

x+2，根据方程的根与系数的关系及弦长公式|PQ|=

1+k2

|x₁-x₂|可求

解答：解：（1）

b

a

=sin60°=

3

2

． （4分）
（2）设a²=4t，b²=3t （t＞0）．
则椭圆方程为

x2

4t

+

y2

3t

=1．y=

1

2

x+2代入，得x²+2x+（4-3t）=0
|PQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

15(t-1)

=3

5

∴t=4．
椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1． （15分）

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，及直线与椭圆相交结合方程的根与系数的关系求弦长，此问题具有通法．