Question

已知数列{a_k}满足：且（k=1，2，…，n-1）其中n是一个给定的正整数．
（1）证明：数列{a_k}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：．

Answer 1

证明：（1）∵ （k=1，2，…，n-1），∴a_k≠0．∵，
∴a_k+1-a_k=-a_k=＞0，故数列{a_k}是一个递增数列，即数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得=，
∴，
令k=1，2，3，…，n-1，有
＜，
＜，
…
，
∴，
∴，∴a_n＜1，
从而有：，
∴，
令k=1，2，3，…，m-1，有
，
，
…
，
∴，将代入整理得
∴对一切1＜m＜n，m∈N有：．
分析：（1）由，知a_k≠0，由且（k=1，2，…，n-1），知a_k+1-a_k=-a_k=＞0，由此能够证明数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得=，，令k=1，2，3，…，n-1，得：，所以，再令k=1，2，3，…，m-1，能够证明对一切1＜m＜n，m∈N有：．
点评：本题考查数列是单调数列的证明，考查不等式的证明．本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．