Question

已知函数f(x)=且a≠1).

(1)求f(x)的值域;

(2)讨论f(x)的单调性.

Answer 1

(1)解法一:分离常数法.

由f(x)=,

由a^x+1>1,

∴0<<1.

∴0>>-2.

∴1>1>-1.

∴函数f(x)的值域为(-1,1).

解法二:逆求法.

令y=f(x)=,解得a^x=-.

由a^x>0得->0.∴-1<y<1.

∴函数f(x)的值域为(-1,1).

(2)解法一:由f(x)=1-.

①当a>1时,∵a^x-1为增函数,且a^x-1>0,

∴为减函数,从而f(x)=1-=为增函数;

②当0<a<1时,同理可得f(x)= 为减函数.

解法二:定义法.

设任意的x₁<x₂,

则f(x₁)-f(x₂)==

=.  (*)

当a>1时,由x₁<x₂,∴.

∴(*)<0,即f(x₁)<f(x₂).

∴f(x)为R上的增函数.

当0＜a<1时,同样方法讨论可得(*)>0,f(x)为R上的减函数.