Question

已知数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}满足b_n=(lga₁+lga₂+…+lga_n)(n∈N^*),记S_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N^*).

(1)若数列{a_n}的首项a₁=1 000,公比q=,求数列{b_n}的通项公式.

(2)在(1)的条件下,求S_n的最大值.

(3)是否存在实数k,使得对于任意的正整数n恒成立?若存在,请求出实数k的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)解析：a_n=a₁q^n-1=1 000×()^n-1=10^4-n,

b_n=(lga₁+lga₂+…+lga_n)?

=lg(a₁·a₂·…·a_n)?

=lg10^{［3+2+1+…+(4-n)］}???

=lg10=··lg10=.?

故数列{b_n}的通项公式为b_n=(n∈N^*).?

(2)S_n=b₁+b₂+…+b_n?

=

=

=?-n²+n,?

利用二次函数的性质,并结合n∈N^*,知当n=6或n=7时,(S_n)_max=.?

(3)∵=·

=()·

=(),?

∴条件等式左边=［(-)＋（)+…+()］

= (-)=·??

=·

=·=.?

由条件知存在k=-1使=恒成立.