Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，，E为CC₁的中点，AC∩BD=O．
（Ⅰ） 证明：OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）证明：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 证明OE∥AC₁，然后利用直线与平面平行的判定定理证明OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）连接A₁C₁，证明A₁C⊥AC₁，A₁C⊥OE，证明BD⊥平面A₁C，然后证明A₁C⊥平面BDE．
解答：解：（1）证明：因为EC₁=EC，AO=OC．所以OE∥AC₁．
因为AC₁?平面ABC₁，OE?平面ABC₁，所以OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）连接A₁C₁，因为AB=a所以A₁C₁=a．
所以四边形ACC₁A₁为正方形，所以A₁C⊥AC₁，
因为OE∥AC₁．
所以A₁C⊥OE，
又因为BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面AA₁C，所以BD⊥A₁C，
又因为OE∩BD=O，所以A₁C⊥平面BDE．
点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．