Question

已知x、y∈R,2y²-x²=1,则x²+4y²-4xy的最小值为_____________.

Answer 1

解法一：∵2xy≤x²+y²,∴x²+4y²-4xy≥x²+4y²-2(x²+y²)=2y²-x²=1.

    当且仅当x=y时取等号.

解法二：x²+4y²-4xy=(x-2y)².

    令t=|x-2y|,则问题转化为求t=|x-2y|的最小值.而2y²-x²=1表示实轴在y轴上的双曲线.

    当x-2y≥0时，t=x-2y,即直线x-2y-t=0与下支相切时,t最小;

    当x-2y≤0时，t=2y-x,即直线x-2y+t=0与上支相切时，t最小.

2·-x²=1,

x²±2tx+2-t²=0,

Δ=4t²-4(2-t²)=0.

∴t²=1.∴t=1或t=-1.

∴x²+4y²-4xy的最小值为1.

答案：1