Question

已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer 1

【答案】分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．
证法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．
解答：证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①
所以②（6分）
故．
又③
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．（10分）
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
同理②（6分）
故③

所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立．（10分）
点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．