Question

10．函数f（x）=x³-ax在（1，3）上存在单调增区间，则a的取值范围是（-∞，27），函数f（x）=x³-ax在（1，3）上单调增，则a的取值范围是（-∞，3]．

Answer 1

分析 （1）问题转化为存在f′（x）=3x²-a＞0在（1，3）成立，即存在a＜3x²在（1，3）成立，即a＜（3x²）_max=27，从而求出a的范围即可；
（2）由函数f（x）=x³-ax在区间（1，3）上递增，可得：f'（x）=3x²-a≥0在（1，3）上恒成立，即a≤3x²在（1，3）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得a的取值范围．

解答 解：（1）若函数f（x）=x³-ax在（1，3）上存在单调增区间，
则存在f′（x）=3x²-a＞0在（1，3）成立，
即存在a＜3x²在（1，3）成立，
即a＜（3x²）_max=27，
故a的范围是（-∞，27）；
（2）函数f（x）=x³-ax在区间（1，3）上单调递增，
∴f'（x）=3x²-a≥0在（1，3）上恒成立，
∴a≤3x²在（1，3）上恒成立，
∴a≤3，
故a的取值范围是（-∞，3]，
故答案为：（-∞，27），（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．