Question

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．

Answer 1

答案：
解析：

答：当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45000元． 　　解：设污水处理池的长为x米，则宽为米(0＜x≤16，0＜≤16)，∴12.5≤x≤16． 　　于是总造价Q(x)＝400(2x＋2×)＋248×2×＋80×200． 　　， 　　当且仅当(x＞0)，即x＝18时等号成立，而18[12.5，16]，∴Q(x)＞44800． 　　下面研究Q(x)在[12.5，16]上的单调性． 　　对任意12.5≤x1＜x2≤16，则x2－x1＞0，x1x2＜162＜324． 　　Q(x2)－Q(x1)＝800[(x2－x1)＋324()] 　　， 　　∴Q(x2)＞Q(x1)．∴Q(x)在[12.5，16]上是减函数． 　　∴Q(x)≥Q(16)＝45000． 　　思路分析：在利用均值不等式求最值时，必须考虑等号成立的条件，若等号不能成立，通常要用函数的单调性进行求解．