Question

已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且a+b＞0，求下列各函数的定义域：
（1）f（x²）；
（2）g（x）=f（x）-f（-x）；
（3）h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）

Answer 1

分析：（1）由已知条件得到a≤x²≤b，再解对数不等式．
（2）根据题意可知a≤x≤b且a≤-x≤b，根据b＞-a，得到x的范围即得到g（x）的定义域．
（3）根据函数f（x）的定义域为[a，b]，可以求出f（x+m），f（x-m）的定义域，然后就可以确定m的范围；

解答：解：（1）因为函数f（x）的定义域是[a，b]，
所以a≤x²≤b，
当a≥0时，解得定义域为：{x|-

b

≤x≤-

a

或

a

≤x≤

b

}
当a＜0时，解得定义域为：{x|-

b

≤x≤

b

}；
（2）∵f（x）的定义域为x∈[a，b]，
∴g（x）=f（x）-f（-x）的定义域为a≤x≤b且a≤-x≤b，即-b≤x≤-a，
又b＞-a，
根据不等式取解集的方法可得：g（x）的定义域为：[a，-a]．
（3）：∵函数f（x）的定义域为[a，b]，
∴a≤x+m≤b，a≤x-m≤b，即a-m≤x≤b-m，a+m≤x≤b+m，
∵h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）的定义域存在，
∴b-m≥a+m，又m＞0
∴0＜m≤

1

2

（b-a），
故h（x）=f（x+m）+f（x-m），（m＞0）的定义域为：[a+m，b-m]．

点评：本题考查抽象函数的定义域，不等式的解法，本题是抽象函数，没有具体的解析式，这点同学们要扣定义．属中档题．