Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A，B分别为左顶点和上顶点，F为右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点C，且直线AB与直线OC平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点M（3，0），P为椭圆上的动点，若△OMP的重心轨迹经过点（1，1），求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）首先根据A、B的坐标，得到直线AB的斜率kAB=

b

a

，再根据F是椭圆的焦点且CF⊥x轴，结合椭圆方程得到点C坐标（c，

b2

a

），于是直线OC的斜率为k_OC=

b2

ac

．最后根据直线AB与直线OC平行，利用斜率相等可得b=c，即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1），可设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，动点P的坐标为（x₀，y₀），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式结合坐标转移的方法，可得点G的轨迹方程，因为G的轨迹经过点（1，1），所以将点（1，1）代入所求出的轨迹方程，即可得b²=9，从而得到椭圆的方程．

解答：解：（1）∵A（-a，0），B（0，b），∴直线AB的斜率kAB=

b

a

，
∵CF⊥x轴，∴将x=c代入椭圆方程得

y2

b2

=1-

c2

a2

=

b2

a2

，y=±

b2

a

（2分）
得点C坐标为（c，

b2

a

），于是OC的斜率为k_OC=

b2 a

c

=

b2

ac

∵直线AB与直线OC平行，
∴k_AB=k_OC，即

b

a

=

b2

ac

，可得b=c（4分）
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

c

b2+c2

=

c

c2+c2

=

2

2

（6分）
（2）由（1），可设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，（b＞0）
设动点P的坐标为（x₀，y₀），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式可得
∴

x= x0+3 3 y= y0 3

⇒

x0=3x-3 y0=3y

，得点P（3x-3，3y）（8分）
∵点P在椭圆

x2

2b2

+

y2

b2

=1上，
∴

(3x-3)2

2b2

+

9y2

b2

=1，此为点G的轨迹方程（10分）
∵G的轨迹经过点（1，1），
∴b²=9，得到椭圆的方程为：

x2

18

+

y2

9

=1（12分）

点评：本题给出椭圆中两条线段互相平行，求椭圆的离心率，并在已知三角形重心坐标的情况下求椭圆的方程，着重考查了三角形重心公式、椭圆的基本概念和轨迹方程求法等知识点，属于中档题．