Question

解不等式|x+1|+|x-1|≥3.

Answer 1

思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x+a|+|x+b|的代数式，可以认为是分段函数.

解法一：如图，设数轴上与-1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间［-1，1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A₁，到A，B两点的距离和为3，A₁对应数轴上的x.

∴-1-x+1-x=3,得x=.

同理设B点右侧有一点B₁到A，B两点距离和为3，B₁对应数轴上的x,

∴x-1+x-(-1)=3.∴x=.

    从数轴上可看到，点A₁，B₁之间的位点到A，B的距离之和都小于3；点A₁的左边或点B₁的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.

    所以原不等式的解集是(-∞,-］∪［,+∞).

    解法二：当x≤-1时，原不等式可以化为-（x+1)-(x-1)≥3,

解得：x≤-.

    当-1＜x＜1时，原不等式可以化为

x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立，无解.

    当x≥1时，原不等式可以化为

x+1+x-1≥3.

所以x≥.

    综上，可知原不等式的解集为{x|x≤-或x≥}.

    解法三：将原不等式转化为

|x+1|+|x-1|-3≥0.

构造函数y=|x+1|+|x-1|-3即

y=

作出函数的图象（如下图）

函数的零点是-,.

    从图象可知，当x≤-或x≥时y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0.

    所以原不等式的解集为(-∞,-］∪［,+∞).