Question

已知函数，.
（1）若，求证：当时，；
（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围；
（3）求证：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）将代入函数解析式，利用导数函数在区间上的单调性，进而由单调性证明；（2）解法一是“将函数在区间上单调递增”转化为“不等式在区间上恒成立”，然后利用参数分离法等价转化为“不等式在区间上恒成立”，最终转化为；解法二是先将问题转化为在区间上恒成立，对参数进行分类讨论，围绕，从而对参数进行求解；（3）先将不等式等价转化证明，在（2）中，令得到，然后在（2）中得到，两边取对数得到，在令，得到，再结合放缩法得到，需注意第一个不等式不用放缩法，即，利用累加法便可得到，从而证明相应的不等式.
试题解析：（1），则，，
在上单调递增，，
故函数在上单调递增，所以；
（2）解法一：，下求使恒成立的的取值范围.
当时，由，得在上恒成立，
令，则有，则，令，解得，
列表如下：

	减	极小值	增

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，，
故实数的取值范围是；
解法二：，下求使恒成立的的取值范围.
若，显然，则在区间上单调递增；
记，则，
当时，，，，则在上单调递增，
于是，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，
由得，则，
综上所述，的取值范围是；
（3）由（1）知，对于，有，，
则，从而有，
于是
，
故.