Question

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线∥；

（II）求棱锥F—OBED的体积。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）

【解析】第一问中运用线面平行的性质定理，可以求证线线平行，结合了三角形的中位线定理。第二问中，求解棱锥的体积问题，一般就是求解底面积和高即可。先建立空间直角坐标系，然后表示三角形的面积，，，结合向量的关系式得到体积公式。

解：

    （I）（综合法）

    证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

    OB∥1/2DE，OB =1/2DE，OG=OD=2，

    同理，设G’是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG’=OD=2

    又由于G和G’都在线段DA的延长线上，所以G与G’重合.

    在△GED和△GFD中，由 OB∥1/2DE，OB =1/2DE和OC∥1/2DF，OC=1/2DF

可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

    （向量法）

    过点F作FQAD，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为X轴正向，QD为y轴正向，DF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.

    由条件知

    则有

    所以即得BC∥EF.

   （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故

      所以

    过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以