Question

如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上,且PC⊥平面AMN.

(1)求证:AM⊥PD;

(2)求二面角P-AM-N的大小;

(3)求直线CD与平面AMN所成的角的大小.

Answer 1

解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD,

∴PA⊥CD.故CD⊥平面PAD.

又AM?平面PAD,则CD⊥AM,而PC⊥平面AMN,有PC⊥AM,则AM⊥平面PCD,

故AM⊥PD.

(2)∵AM⊥平面PCD(已证),

∴AM⊥PM,AM⊥NM,

故∠PMN为二面角PAMN的平面角,

又∵PN⊥平面AMN,∴PN⊥NM.

在Rt△PCD中,CD=2,PD=2,则PC=2,

∵PA=AD,AM⊥PD,

∴M为PD的中点,则PM=PD=.

由Rt△PMN∽Rt△PCD,得MN=,

则cos∠PMN=,

故∠PMN=arccos,则二面角P-AM-N为arccos.

(3)延长NM、CD交于点E,∵PC⊥平面AMN,

∴NE为CE在平面AMN内的射影.

∴∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角.

又CD⊥PD,EN⊥PN,则有∠CEN=∠MPN.

∵sin∠MPN=,且∠MPN∈(0,),

∴∠MPN=arcsin.

故CD与平面AMN所成的角为arcsin.