Question

  已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

Answer 1

（1）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.                                                    

又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.                                      

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.                                                     

   因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.                      

（2）因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0). 

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

   设点M(x，y)，则.                        

两边平方，得，即y²＝8x.                              

 故点M的轨迹方程是y²＝8x.