Question

试证明：函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ对称的充要条件是ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）.

Answer 1

答案：
解析：

（1）充分性：由ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ－ｘ）可得ｆ（ｘ）＝ｆ（２ａ－ｘ）.若点A(ｘ，ｙ)是ｆ（ｘ）图象上任一点，则点A′（２ａ－ｘ，ｙ）也在图象上，而A 与A′关于直线ｘ＝ａ对称，所以ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ对称. （2）必要性：设A（ｘ，ｙ）是函数ｆ（ｘ）图象上任一点，则点A关于直线ｘ＝ａ对称点Ａ′（２ａ－ｘ，ｙ）也在图象上. ∴ｆ（２ａ－ｘ）＝f（ｘ） ∴ｆ（ａ＋ｘ）＝f ［２ａ－（ａ＋ｘ）］＝f（ａ－ｘ） ∴f（ａ＋ｘ）＝f（ａ－ｘ）