Question

已知f （x）=x+

1

x

．
（1）求证：f （x） 是奇函数；
（2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义证明函数为奇函数即可；（2）先由函数f（x）的图象性质判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可，由于此函数为奇函数，故可先证明其在（0，+∞）上的单调性，再利用对称性证明（-∞，0）上的单调性

解答：解：（1）证明：函数f （x）=x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}
且f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴f （x） 是奇函数
（2）函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
证明：先证明函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+

1

x1

-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
若x₁＜x₂∈（0，1），则x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＜0，从而f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
若x₁＜x₂∈（1，+∞），则x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
又∵函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数
∴函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数

点评：本题考查了奇函数的定义及其应用，利用函数的单调性定义证明函数单调性的方法，函数f （x）=x+

1

x

（俗称对勾函数）的图象和性质