Question

如图，一张平行四边形的硬纸片中，，。沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置。
（Ⅰ）△折起的过程中，判断平面与平面的位置关系，并给出证明；
（Ⅱ）当△为等腰三角形，求此时二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）平面平面…………1分
证明：因为，，所以，。
因为折叠过程中，，所以，又，故平面。
又平面，所以平面平面。…………5分
（Ⅱ）解法一：如图，延长到，使，连结，。…………6分

因为，，，，所以为正方形，。
由于，都与平面垂直，所以，可知。
因此只有时，△为等腰三角形。………………8分
在△中，，
又，所以△为等边三角形，。………………10分
由（Ⅰ）可知，，所以为二面角的平面角，即二面角的大为。…………12
解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，。………………6分

由（Ⅰ）可设点的坐标为，其中，则有。     ①
因为△为等腰三角形，
所以或。………………8分
若，则有。
则此得，，不合题意。
若，则有。     ②
联立①和②得，。故点的坐标为。
由于，，所以与夹角的大小等于二面角的大小。
又，，
所以，即二面角的大小为。

略