Question

20.已知函数f（x）=x²e^ax,其中a≤0,e为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间［0,1］上的最大值.

Answer 1

20.

解（Ⅰ）f′（x）=x（ax+2）e^ax.

（ⅰ）当a=0时，令f′（x）=0,得x=0.

若x＞0，则f′(x)＞0,从而f（x）在（0,+∞）上单调递增;

若x＜0,则f′(x)＜0,从而f（x）在（－∞,0）上单调递减.

（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0,得x（ax+2）=0,故x=0或x=－.

若x＜0,则f′（x）＜0,从而f（x）在（－∞,0）上单调递减;

若0＜x＜－,则＞0，从而f（x）在（0,－）上单调递增;

若x＞－,则＜0,从而f（x）在（－,+∞）上单调递减.

（Ⅱ）（ⅰ）当a=0时，f（x）在区间［0,1］上的最大值是f1.=1.

（ⅱ）当－2＜a＜0时，f（x）在区间［0,1］上的最大值是f1.=e^a.

（ⅲ）当a≤－2时，f（x）在区间［0,1］上的最大值是f（－）=.