Question

设有半径为3千米的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东、B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为1∶3，问A、B两人在何处相遇？

Answer 1

思路分析：注意到村落为圆形,且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动,于是可设想以村落的中心为原点,以开始时A、B的前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件.

解：由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h,v km/h.再设A出发x₀小时后,在点P处改变方向,又经过y₀小时,在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标分别为(3vx₀,0),(0,v(x₀+y₀)).由于A从P到Q行走的时间是y₀小时,于是由勾股定理知OP²+OQ²=PQ²,即(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)².化简整理得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0.又x₀+y₀＞0,所以5x₀=4y₀.①

于是k_PQ=②,将①代入②,得k_PQ=.

由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x₀+y₀)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=x+b与圆x²+y²=9相切时,求纵截距b的值.”

利用圆心到切线的距离等于半径,得=3,b=(b＞0),因此A、B相遇的地点是在离村落中心正北 km处.