Question

已知x＞0，y＞0，且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：利用“1的代换”， 　　∵， 　　∴． 　　∵x＞0，y＞0，∴． 　　当且仅当，即y＝3x时，取等号． 　　又，∴x＝4，y＝12． 　　∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16． 　　解法二：由，得． 　　∵x＞0，y＞0，∴y＞9． 　　． 　　∵y＞9，∴y－9＞0． 　　∴． 　　当且仅当，即y＝12时，取得等号，此时x＝4．∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16． 　　解法三：由，得y＋9x＝xy， 　　∴(x－1)(y－9)＝9． 　　∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋， 　　当且仅当x－1＝y－9时取得等号．又， 　　∴x＝4，y＝12． 　　∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16． 　　思路分析：要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会．

提示：

本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察，学会变形，另外解法二，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响．