Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点.

(Ⅰ)求证：AF∥ 平面PEC；

(Ⅱ )求PC与平面ABCD所成角的大小；

(Ⅲ )求二面角P-EC-D的大小.

Answer 1

解法一：(Ⅰ)取PC的中点O，连接OF、OE.

∴FO∥DC，且FO=DC.    ∴FO∥AE.

又∵E是AB的中点，且AB=DC. ∴FO=AE.

∴四边形AEOF是平行四边形.

∴AF∥OE. 

又OE平面PEC，AF平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

(Ⅱ)连接AC.∵PA⊥平面ABCD，

∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角. 

在RtΔPAC中，

tan∠PCA=.

即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arctan. 

(Ⅲ)作AM⊥CE，交CE延长线于M,连接PM.

由三垂线定理，得PM⊥CE.

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.

由ΔAME∽ΔCBE，可得AM=.

∴tan∠PMA=.

∴二面角P-EC-D的大小为arctan. 

解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系.

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，F(0，,)，E(1，0，0)，P(0,0,1)

(Ⅰ)取PC的中点O，连接OE.

则O(1,,).

=(0,,),=(0,,)

∴∥.

又OE平面PEC，AF平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

(Ⅱ)由题意可得=(2，1，-1)，

平面ABCD的法向量是=(0，0，-1).

cos＜，)=

即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arcsin.

(Ⅲ)设平面PEC的法向量为m=(x，y，z).

=(1，0，-1)，=(1,1，0).

则可得

令z=-1，则m=(-1，1，-1).

由(Ⅱ)可得平面ABCD的法向量是(0，0，-1).

cos(m,)=

∴二面角P-EC-D的大小为arccos.