Question

已知：△ABC和△相似，⊙O和⊙为△ABC和△的内切圆，相似比为k．

求证：⊙O和⊙的直径比为k，周长比为k，面积比为k²．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结O和切点D，和切点， 　　所以OD⊥AB，⊥． 　　连结OA、OB、、， 　　因为两三角形相似， 　　所以∠BAC＝∠， 　　∠DAO＝∠BAC， 　　∠＝∠． 　　所以∠DAO＝∠． 　　同理∠DBO＝∠． 　　所以△AOB与△相似， 　　相似比为k． 　　因为OD、分别为△AOB和△上的高， 　　所以＝k，即＝k． 　　所以＝k． 　　因为⊙O的周长为2π·OD， 　　⊙的周长为2π， 　　所以⊙O的周长∶⊙的周长＝k． 　　⊙O的面积＝π(OD)2． 　　⊙的面积＝π()2． 　　所以⊙O的面积∶⊙的面积＝＝k2． 　　于是结论得证．