Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁,b₂(a₂-a₁)=b₁.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2;

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2(n-1)²=4n-2.

故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2,即{a_n}是a₁=2,公差d=4的等差数列.

设{b_n}的通项公式为q,则b₁qd=b₁,d=4,∴q=.

故b_n=b₁q^n-1-2×,即{b_n}的通项公式为b_n=.

（2）∵c_n==,

∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=［1+3×4¹+5×4²+…+(2n-1)4^n-1］,

4T_n=［1×4+3×4²+5×4³+…+(2n-3)4^n-1+(2n-1)4ⁿ］

两式相减得

3T_n=-1-2(4¹+4²+4³+…+4^n-1)+(2n-1)4ⁿ=［(6n-5)4ⁿ+5］,

∴T_n=［（6n-5）4ⁿ+5］.