Question

f（x）=lnx-ax²，x∈（0，1]
（1）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）在区间（0，1]上是增函数，说明其导函数在区间（0，1]上大于等于0恒成立，分离变量后得a≤

1

2x2

恒成立，然后运用求函数最值知识求解；
（2）求出原函数的导函数，然后讨论a的符号，当a≤0时，导函数恒，大于0，原函数单调递增，直接求函数的最大值，当a＞0时，求出函数的增减区间，找到极大值点，此时的极大值也就是最大值．

解答：解：（1）∵y=f（x）在（0，1]上是增函数，所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
由f（x）=lnx-ax²，则f′(x)=

1

x

-2ax，即

1

x

-2ax≥0在（0，1]上恒成立，所以a≤

1

2x2

恒成立，
因为x∈（0，1]，所以

1

2x2

≥

1

2

，
所以得a≤

1

2

；
（2）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

若a≤0时，f′(x)=

1-2ax2

x

＞0
所以y=f（x）在（0，1]上单调递增，所以f（x）_max=f（1）=ln1-a=-a，
若a＞0，f′(x)=

-2a(x2- 1 2a )

x

=

-2a(x- 1 2a )(x+ 1 2a )

x

所以y=f（x）在（0，

1 2a

）上单调递增，在（

1 2a

，+∞）上单调递减，
①当

1 2a

≥1，即0＜a≤

1

2

时，f（x）_max=f（1）=-a
②当

1 2a

＜1，即a＞

1

2

时，f(x)max=f(

1 2a

)=ln

1 2a

-

1

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．