Question

已知函数f(x)＝为奇函数.

(1)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；

(2)解关于x的不等式f(1＋2x²)＋f(－x²＋2x－4)>0.

Answer 1

(1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝，

∴f′(x)＝.

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，

∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数.

(2)由f(1＋2x²)＋f(－x²＋2x－4)>0，得

f(1＋2x²)>－f(－x²＋2x－4).

∵f(x)是奇函数，∴f(1＋2x²)>f(x²－2x＋4).

又∵1＋2x²>1，x²－2x＋4＝(x－1)²＋3>1，

且f(x)在(1，＋∞)上为减函数，

∴1＋2x²<x²－2x＋4，即x²＋2x－3<0，

解得－3<x<1.

∴不等式f(1＋2x²)＋f(－x²＋2x－4)>0的解集为{x|－3<x<1}.