Question

如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点.又BO=2，PO=，PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直线PD与BD所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P—AB—C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解法一：

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.又PB⊥PD，BO=2，PO=，

    由平面几何知识得：OD=1，PD=，PB=.

(Ⅰ)过D作DE∥BC交于AB于E.连结PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角.

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB.

∴BC=，AB=2，CD=

    又AB∥DC，

∴四边形EBCD是平行四边形.

∴ED=BC=，BE=CD=.

∴E是AB的中点，且AE=.

    又PA=PB=，

∴△PEA为直角三角形.

∴PE==2.

    在△PED中，由余弦定理得

cos∠PDE=.

    故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为.

(Ⅱ)连结OE，由(Ⅰ)及三垂线定理知，∠PEO为二面角P—AB—C的平面角.

∴sin∠PEO==，

∴∠PEO=45°.

∴二面角P—AB—C的大小为45°.

(Ⅲ)连结MD，MB，MO，

∵PC⊥平面BMD，

OM平面BMD，

∴PC⊥OM.

    又在Rt△POC中，

PC=PD=，OC=1，PO=，

∴PM=，MC=3，

∴=2.

    故λ=2时，PC⊥平面BMD.

解法二：

∵PO⊥平面ABCD，

∴PO⊥BD.

    又PB⊥PD，BO=2，

PO=，

    由平面几何知识得

OD=OC=1，BO=AO=2.

    以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,).

(Ⅰ)=(0，-1，-)，=(-1，-2，0)，∴｜｜=,｜｜=,·=2.

∴cos〈,〉==.

    故直线PD与BC所成角的余弦值为.

(Ⅱ)设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由于=(-2,2,0),=(-2,0,),由

得

    取n=(1,1,),又平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1).

∴cos〈m·n〉==.

    又二面角P—AB—C为锐二面角，

∴所求二面角P—AB—C的大小为45°.

(Ⅲ)设M(x₀,0,z₀),由于P、M、C三点线，∴z₀=2(x₀+1).                        ①

    又PC⊥平面BMD，∴OM⊥PC.即OM·PC=0.∴x₀+z₀=0.           ②

    由①、②知x₀=,z₀=,即M(,0,),∴λ==2,故λ=2时，PC⊥平面PMD.